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光学教学笔记之源源不绝 sun668.com

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已有 2775 次阅读 2019-11-7 15:40 |个人分类:大众物理学|系统分类:科普集锦


无极生太极,太极生两仪。

两仪生四象,四象生八卦。

 

惠更斯提出了波传播的一般性原理,即惠更斯原理:波面(波前)上的任意点都可以看作新的振动中心,它们发出球面次波,这些次波的包络面就是新的波面(波面)。利用这个原理,可以解释光的传播、反射和折射现象。

菲涅尔在惠更斯次波的基础上,引入了次波相干叠加的思想,这就是惠更斯-菲涅尔原理:波面(波前)上的任意点都可以看作新的振动中心,它们发出球面次波,空间任意点$P$的振动是该波面上所有这些次波在该点的相干叠加。这个原理可以很好的解释光的衍射现象,特别令人印象深刻的是,反对者泊松提出“光在圆盘后面有个亮斑”这个反直觉的结论,竟然被实验证实了(泊松亮斑)。

在波前上的任意点处,有两个特殊的方向:一个是该点的发现方向,一个是该点和“空间任意点$P$”的连线方向。这两个方向就决定了一个角度$\theta$,为次波相干干涉引入了“倾斜因子”$f(\theta)$,菲涅尔猜测了这个倾斜因子的形式。

基尔霍夫从波动方程出发,推导出一个衍射积分公式,并给出了倾斜因子的具体形式。基尔霍夫衍射积分公式是:

$U(P)=\int_{\Sigma} \frac{A \mathrm{e}^{i kr^{\prime}}}{r^{\prime}} \frac{\mathrm{e}^{ik r}}{r} \frac{-\mathrm{i}}{\lambda} \cdot \frac{1}{2}\left[\cos \left(\hat{n}, r^{\prime}\right)-\cos (\hat{n}, r)\right] \mathrm{d} \Sigma$

在这个公式里,$\frac{A \mathrm{e}^{i kr^{\prime}}}{r^{\prime}}$光源发出的球面波,$\frac{\mathrm{e}^{ik r}}{r}$是球面波前上任意点发出的球面次波,$\frac{1}{2}\left[\cos \left(\hat{n}, r^{\prime}\right)-\cos (\hat{n}, r)\right] $是倾斜因子,这些都是容易理解的,但是比例系数$ \frac{-\mathrm{i}}{\lambda}$很奇妙,单靠直觉是想不出来的。这个方程的推导不适合在大学普通物理课里讲,但是我们可以用这个公式来推导球面波的传播,从而验证这个比例系数$ \frac{-\mathrm{i}}{\lambda}$的正确性。

我们知道,半径为$R$的球面波$\frac{ \mathrm{e}^{i kR}}{R} $经过一段时间$t=d/c$后,会变成半径为$R+d$的球面波,$\frac{ \mathrm{e}^{i k(R+d)}}{R+d} $,我们就是要从基尔霍夫积分公式得到这个结果。

 

如图所示,$O$是球心(光源位置),$O$$Q$$P$点位于球的半径上,在$Q$点附近、与半径垂直的平面上,到$P$点的距离为$\sqrt{d^2+x^2}\approx d+x^2/2d$,到$O$点的距离为$\sqrt{R^2+x^2}\approx R+x^2/2R$。所以,基尔霍夫积分公式里的$r$就是

$r=d+x^2/2d+x^2/2R=d(1+ \frac{R+d}{2R}x^2)$选取$R,d\gg \lambda$,就有$r\gg\lambda$,尽管$r$的变化并不大,但$ \mathrm{e}^{i kr} $是高速振荡的,也就是说,只有在$Q$点附近的球面波前才对$P$的振幅有贡献。因此,倾斜因子就可以近似为1,而分母里的$r$也可以用$d$来代替,

$U(P)\sim \int_{\Sigma} \frac{\mathrm{e}^{ik r}}{r} \frac{-\mathrm{i}}{\lambda} \mathrm{d} \Sigma \sim \int  \frac{\mathrm{e}^{ikd(1+x^2 \frac{R+d}{2R})}}{d} \frac{-\mathrm{i}}{\lambda} 2\pi x\mathrm{d}x$

只需注意到

$\int \mathrm{e}^{i x^2/2} x\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{e}^{i x^2/2}}{i}$

并把无穷远处取值为0,就可以看到,上面的积分确实等于一个半径更大的球面波$\frac{ \mathrm{e}^{i k(R+d)}}{R+d} $。所以,光源发出的球面波总是从小圆到大圆、再到更大的圆,以至于无穷(相当于平面波),源源不绝了。

这样我们还可以知道基尔霍夫公式中$ \frac{-\mathrm{i}}{\lambda}$的来源了。

 

如果你拿一个纯粹的黑体材料(能吸收所有的光),球形波前整个罩住,然后剪出一个(或者更多的)洞、让一部分光通过(这就是一个衍射屏),你就可以计算外面某点出的衍射光强了:挡住的部分,光振幅为零;没挡住的部分,光振幅不变;边界处的贡献忽略不计。(注意,这个说法等效于《光学》书上的基尔霍夫边界条件。)

这里有几件事情需要注意。

洞的尺寸应该远大于波长,这样才可以忽略边缘处的贡献;波长太长(比如无线电波)或者洞太小(现在的微细加工工艺太强大了),就必须考虑采用更为严格的电磁理论,并考虑衍射屏材料不会是真正的黑体(比如,在金属掩膜里,可能产生等离激发)。另外,基尔霍夫边界条件本身也不是完全自洽的。但是,这些都是枝节问题了。

从惠更斯-菲涅尔原理到基尔霍夫衍射积分公式,都可以看出来,光的衍射是典型的线性叠加效应:如果光的波前是两部分AB之和,衍射的效果($P$点的衍射振幅)就是二者分别作用的结果之和——这就是所谓的“巴比涅原理”。这一点显然可以拓展到任意多个的部分之和,其实就是傅里叶光学的基础之一。但是,因为我们通常观测的光学结果并不是光场的振幅,而是光的强度,也就是光场振幅的绝对值平方,所以多个部分的衍射结果通常不等于各个部分的结果之和。但是对于一种特殊的情况,巴比涅原理特别有用:

点光源经过一个几何光学系统后,在像平面形成一个点像。因为像平面其他部分的光场振幅一定是零(几何光学近似),所以,如果在光学系统中插入一个衍射屏A得到的衍射图样,与插入其互补屏B得到的结果是完全相同的(除了光源的几何成像点以外)。


西方科学文明常以奇技淫巧著称,竟然也能达到我东方神秘文化的至高境界:太极圆转如意,阴阳相生相克。这真是天道至简、殊途同归啊!




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